On lance simultanement 2 dés cubiques. Le but de l'activité est d'étudier la somme de ces 2
dés.
Lancé de 2 dé
On lance simultanement 2 dés. Quelles sont les sommes qu'il est possibles d'obtenir ?
Lancé de 2 dé
D'après vous toutes les issues ont-elles la même chance de se produire ?
Simulation
On souhaite simuler le jeu à l'aide d'un tableur.
Complèter les cellules A2, B2 et C2 du fichier lance_de-2_des.ods à l'aide des instructions suivantes :
= ALEA.ENTRE.BORNES(min; max)
= SOMME(nb1; nb2)
Simulation
Etendre les formules des cellules A2, B2 et C2 jusqu'à la ligne 502
Bilan de l'expérience aléatoire
D'après les statistiques menées par la répétition de cette expérience, il semble que parmis les différentes
issues le nombre 7 apparait plus souvent que les autres.
Modélisation de l'expérience
dé 2 \ dé 1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Probabilités
Le 7 apparait : ... fois sur les ... issues possibles.
La probabilité que la somme des 2 dès soit 7 est donc :
P(S=7) = \dfrac{..........}{..........}
Univers
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers de
l'expérience.
On le note en général \Omega
Issue & événement
Soit une expérience aléatoire d'univers \Omega .
Chacun des résultats possibles s'appelle une issue.
On appelle événement tout sous ensemble de \Omega .
Un événement est donc constitué de zéro, une ou plusieurs issues.
Exemple
Le lancer d'un dé à six faces est une expérience aléatoire d'univers : \Omega =\left\{1;2;3;4;5;6\right\}
L'ensemble peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est un nombre pair » E_1=\left\{2;4;6\right\}
Exercice
Exercice
Probabilité
Intuitivement dans le cas équiréparti, la probabilité d'un évènement A inclus dans un Univers \Omega est le rapport de la partie lié à A sur \Omega.
Ainsi :
P(A)=\dfrac{\textbf{Nombre de cas favorables à A}}{\textbf{Nombre de cas possibles}}
Exemple
Le lancer d'un dé à six faces. La probabilité de l'évenement A : « le résultat du dé est un nombre pair » est
donnée par
Définir une loi de probabilité sur l’ensemble \Omega, c’est associer à chaque issue
xi un nombre p_i tel que :
0 \leq pi \leq 1
p_1 + p_2 + ... + p_n = 1
Probabilité d'un événement
Dans le cas général, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalise.
Par exemple, si A est l’événement A = {x_1; x_2; x_3}
alors p(A) = p_1 + p_2 + p_3
Probabilité
\overline{A} est l’événement contraire de A et est
composé de toutes les issues de \Omega qui ne sont pas contenue dans A
P(\overline{A}) = 1 - P(A)
Notation
Soit A et B deux évenements :
On note A \cup B : L'union de A avec B (les issues appartennant à A
ou à B)
On note A \cap B : L'intersection de A avec B (les issues appartennant à A
et B)
Dans un lycée,
60% des élèves de Première suivent la spécialité Mathématiques,
30% des élèves suivent la spécialité SES
15% des élèves suivent les deux spécialités
On choisit au hasard un élève de Première et on note :
A l’événement : ”l’élève suit la spécialité Mathématiques”,
B l’événement : ”l’élève suit la spécialité SES”.
Écrire en fonction de A et B l’événement : ”l’élève suit les spécialités Mathématiques et SES”, puis
donner la probabilité de cet événement.
Décrire par une phrase l’événement A ∪ B
Déterminer la probabilité de l’événement A ∪ B
Déterminer la probabilité de l’évenement ”l’élève ne suit ni la spécialité Mathématiques ni la spécialité
SES”
Théorème
Quels que soient les événements A et B de \Omega :
P \left( A \cup B \right)= P\left( A \right)+p\left( B \right)-p\left(A \cap B \right)
Equation produit nulle
L’équation-produit A(x) \times B(x) = 0 est équivalente à A(x) =
0 ou B(x) = 0.