Chapitre 08
Probabilité
Lancé de 2 dés
Lancé de 2 dé
On lance simultanement 2 dés. Quelles sont les sommes qu'il est possibles d'obtenir ?Lancé de 2 dé
D'après vous toutes les issues ont-elles la même chance de se produire ?Simulation
On souhaite simuler le jeu à l'aide d'un tableur.Complèter les cellules A2, B2 et C2 du fichier lance_de-2_des.ods à l'aide des instructions suivantes :
= ALEA.ENTRE.BORNES(min; max)= SOMME(nb1; nb2)
Simulation
Etendre les formules des cellules A2, B2 et C2 jusqu'à la ligne 502Bilan de l'expérience aléatoire
D'après les statistiques menées par la répétition de cette expérience, il semble que parmis les différentes issues le nombre 7 apparait plus souvent que les autres.Modélisation de l'expérience
| dé 2 \ dé 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| 6 |
Probabilités
Le 7 apparait : ... fois sur les ... issues possibles. La probabilité que la somme des 2 dès soit 7 est donc :
P(S=7)=....................
Univers
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience.
On le note en général Ω
Issue & événement
Soit une expérience aléatoire d'univers Ω.Chacun des résultats possibles s'appelle une issue.
On appelle événement tout sous ensemble de Ω.
Un événement est donc constitué de zéro, une ou plusieurs issues.
Exemple
Le lancer d'un dé à six faces est une expérience aléatoire d'univers :Ω={1;2;3;4;5;6}
L'ensemble peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est un nombre pair »
E1={2;4;6}
Exercice
Exercice
Probabilité
Intuitivement dans le cas équiréparti, la probabilité d'un évènement A inclus dans un Univers Ω est le rapport de la partie lié à A sur Ω.Ainsi : P(A)=Nombre de cas possiblesNombre de cas favorables aˋ A
Exemple
Le lancer d'un dé à six faces. La probabilité de l'évenement A : « le résultat du dé est un nombre pair » est donnée parP(A)=Nb d’issues possiblesNb eˊleˊments de l’ensemble {2;4;6}
P(A)=63
P(A)=0,5
Exercice
Exercice 26 p. 341
Exercice 27 p. 341
Loi de probabilité
Définir une loi de probabilité sur l’ensemble Ω, c’est associer à chaque issue xi un nombre pi tel que :- 0≤pi≤1
- p1+p2+...+pn=1
Probabilité d'un événement
Dans le cas général, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalise. Par exemple, si A est l’événement A=x1;x2;x3 alors p(A)=p1+p2+p3Probabilité
A est l’événement contraire de A et est composé de toutes les issues de Ω qui ne sont pas contenue dans AP(A)=1−P(A)
Notation
Soit A et B deux évenements :- On note A∪B : L'union de A avec B (les issues appartennant à A ou à B)
- On note A∩B : L'intersection de A avec B (les issues appartennant à A et B)
Théorème
Quels que soient les événements A et B de Ω : P(A∪B)=P(A)+p(B)−p(A∩B)Equation produit nulle
L’équation-produit A(x)×B(x)=0 est équivalente à A(x)=0 ou B(x)=0.Symboles
Il existe six symboles de comparaison, à lire de gauche à droite :- = : est égal à
- = : est différent de
- ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 2: &̲lt; : est strictement inférieur à
- ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 2: &̲gt; : est strictement supérieur à
- ≤ : est inférieur ou égal à
- ≥ : est supérieur ou égal à
Inéquations et addition
- Ajouter (ou soustraire) un même nombre à chaque membre d’une inégalité ne
change pas le sens de cette inégalité.
Autrement dit, quelle que soit la valeur du réel c, l’inégalité ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 3: a &̲lt; b est équivalente à ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 7: a + c &̲lt; b + c. - Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens donne une inégalité de même sens. Autrement dit, si ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 3: a &̲lt; b et ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 3: c &̲lt; d, alors ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 7: a + c &̲lt; b + d.
Inéquations et multiplication
- Multiplier (ou diviser) les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif ne change pas le sens de cette inégalité. Autrement dit, pour tout réel ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 3: a &̲gt; 0, l’inégalité ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 3: b &̲lt; c » est équivalente à ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 11: a\times b &̲lt; a\times c .
-
Multiplier (ou diviser) les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement négatif change le sens de cette inégalité.
Autrement dit, pour tout réel ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 3: a &̲lt; 0, l’inégalité ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 3: b &̲lt; c est équivalente à ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 11: a\times b &̲gt; a\times c .
Exercice
Résolution d'une inéquation
Résoudre une équation d’inconnue x signifie déterminer l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles l’inégalité est vraie :L’ensemble des solutions de l’équation est donné sous la forme d'un intervalle.
Exemple
Résoudre l'inéquation suivante :7x+1≥4x−5
Exemple
Résoudre l'inéquation suivante :7x+1≥4x−5
7x+1 −4x≥ 4x−5 −4x
3x+1≥−5
3x+1 −1 ≥−5 −1
3x≥−6
33x≥36
x≥2
x∈[2 ; +∞[
Exercice
Modélisation
Exercice 140 p.107
Exercice 142 p.108
Exercice 142 p.108
Exercice 144 p. 108
Exercice 197 p.113
Chapitre 08
Probabilité